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一、
填空题
1.充分必要
2.收敛区间为：│x│≤1 ，和函数为：arctanx
3.定义域是：｛(x,y)│xy≠0｝,且lim((x,y)->(0,0))f(x,y)=-4
4.投影是：（4/3,4/3,2/3）
5.a·b=3
6.∫(-a,a)(x+sin(ax))dx=0
7.此
题目
有错
8.是：条件收敛
二 、
选择题
1.（B）存在偏导数但不连续
2.（B）(-1,1]
3.（B）y'=1/(x+y)
4.（C）a×b=b×a
5.（A）π/3
6.（D）f(x,y)=√(x^2+y^2)
7.（D）∑ln(1+1/n^2)
8.
此题目有错
三 、计算题
1.原式=[-cos(x+π/3)]│(π/3,π)=-cos(4π/3)+cos(2π/3)=0
2.原式=lim(x->0)[sin(x^2)/(3x^2)]
(0/0型极限，应用罗比达法则)
=(1/3)lim(x->0)[sin(x^2)/x^2]
=(1/3)*1
(应用重要极限lim(x->0)(sinx/x)=1)
=1/3
3.∵e^z-xyz=0
==>e^z(δz/δx)-yz-xy(δz/δx)=0
(δz/δx表示z关于x的偏导数)
==>e^z(δz/δx)?+e^z(δ?z/δx?)-y(δz/δx)-y(δz/δx)-xy(δ?z/δx?)=0
(δ?z/δx?表示z关于x的二阶偏导数)
==>(xy-e^z)(δ?z/δx?)=[e^z(δz/δx)-2y](δz/δx)
∴δ?z/δx?=[e^z(δz/δx)-2y](δz/δx)/(xy-e^z)
4.f(x,y)的极值是：f(1/2,-1)=-e/2
(对不起 ，难得打过程！)
5.所求面积=1/2+ln2
四、证明题
1.∵F'(x)=f(x)+1/f(x)=[f?(x)+1]/f(x)>0
（∵f(x)>0）
∴F(x)是严格
单调递增函数
∵F(a)=∫(b,a)dx/f(x)=-∫(a,b)dx/f(x)<0
(∵f(x)>0,a<b)
F(b)=∫(a,b)f(x)dx>0
∴F(x)与x轴只有唯一的一个交点
故
方程
F(x)=0在[a,b]上有且仅有一个根
2.左边=∫(0,a)f(x)dx∫(x,a)dy
(根据积分
区域图形
变换积分
顺序
)
=∫(0,a)(a-x)f(x)dx
=右边 ，证毕
五 、当p≤1时，此级数发散 。当p＞1时，此级数收敛 。
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